- 第一周
- 第 1 天：除数是一位数的除法(1)
- 第 2 天：除数是一位数的除法(2)
- 第 3 天：除数是一位数的除法(3)
- 第 4 天：两位数乘两位数（1）
- 第 5 天：两位数乘两位数（2）
- 第 6 天：两位数乘两位数（3）
- 第 7 天：两位数乘两位数（4）
- 第二周
- 第 8 天：位置与方向（一）（1）
- 第 9 天：位置与方向（一）（2）
- 第 10 天：复式统计表
- 第 11 天：面积(1)
- 第 12 天：面积(2)
- 第 13 天：面积(3)
- 第 14 天：面积(4)
- 第三周
- 第 15 天：年、月、日(1)
- 第 16 天：年、月、日(2)
- 第 17 天：年、月、日(3)
- 第 18 天：小数的初步认识(1)
- 第 19 天：小数的初步认识(2)
- 第 20 天：数学广角-搭配(二)(1)
- 第 21 天：数学广角-搭配(二)(2)
- 第四周
- 第 22 天：大数的认识（1）
- 第 23 天：大数的认识（2）
- 第 24 天：大数的认识（3）
- 第 25 天：公顷与平方千米
- 第 26 天：公顷与平方千米（2）
- 第 27 天：角的度量（1）
- 第 28 天：角的度量（2）
- 错题分析
- ① 原因与理由
- 扩展思考
- ① 除数是两位数的除法
数学
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳✕✓✔✖ ≥≤≠÷ □ **__** ★△♀♂○◊ ≈
这里汇总了暑假期间学习的知识要点。
- 重点是数学，因为数学知识具有连续性，如果三年纪的知识掌握不好，四年级的数学题做起来就迷迷糊糊。
[TOC]
第一周
除法（3 天）：
- 掌握基本得计算步骤
- 根据商的位数，反过来求被除数的最高位的范围。
- 进一去尾法，求【至少】或【最多】，因为整体的原因，要加一或者减一。
乘法（4 天）
- 两位数乘两位数的基本计算步骤
- 巧算方法：头同尾合十、尾同头合十。
- 连乘的实际应用
- 乘法解谜
第 1 天：除数是一位数的除法(1)
笔算的顺序是：确定商从哪里开始；检查；验算；
- 从被除数最高位除起，如果最高位的数字<除数，就用被除数前两位除以除数。
- 除到那一位，就把商写到那一位上面。那一位有余数，就和后一位数合起来继续除。 重点：余数必须小于除数
- 除了被除数最高一位外，哪一位的商<1，要先用 0 占位，再和一位数合起来继续除。
第 2 天：除数是一位数的除法(2)
- 除和除以的区别
- 被除数除以除数，除数除被除数。 60÷2 怎么说？
- 3 位数除以 1 位数的估算方法
- 除数不变
- 把被除数看作接近它的（能被整除的）整百数或几百几十数
- 然后按照整百数或几百几十数除以 1 位数算出结果
- 商是几位的判断
- 被除数的最高位 ≥ 除数，商的位数 = 被除数的位数。
- 被除数的最高位 < 除数，商的位数 = 被除数的位数 -1。
第 3 天：除数是一位数的除法(3)
三量的关系
- 总量 ÷ 份数 = 一分量 ；
- 总量 ÷ 一分量 = 份数 ；
- 份数 ✕ 一分量 = 总量 ；
进一、去尾问题
进一法：在实际问题中，问**【至少】**需要多少个箱子，多少车辆时，要根据结果，用进一发取得整数。因为车辆不可能用小数表示。
- 例如：需要多少车辆能运完？ 需要多少箱子能装完？
去尾法：在实际问题中，问**【最多】**能做或者买多少个物品(类似：衣服、书本等)，因为这些衣服、书本都是整体买的，不可能给一部分钱卖半本，所以要用去尾法，那些零钱是买不了一件物品的。
- 例如：最多能买多少套衣服？ 最多能买多少本书？
第 4 天：两位数乘两位数（1）
笔算方法
- 把相同位数对其。
- 先用第二个乘数的个位，去与第一个乘数的每一位进行相乘。所得积的末尾要与第二位乘数的个位对其。
- 再用第二个乘数的十位，去与第一个乘数的每一位进行相乘。所得积的末尾要与第二位乘数的十位对其。
- 在乘的过程，那一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
- 最后，把两次乘得得积相加。
第 5 天：两位数乘两位数（2）
巧算方法。
头同尾合十
计算方法
特征：例如：61*69； 后两位相加是 10
巧算方法：
- 头 ✕ （头+1）✕ 100
- 尾 ✕ 尾 = 乘积的后部分
- 两个数相加
例如：43✕ 47
推理过程
乘积都可以使用面级来推理。
62*68 可以看作三个面积组成：左边长方形面积：68×62=4216
- 灰色正方形边长为 60
- 黄色长方形长为 62，宽为 8
- 红色长方形长为 60，宽为 2
从新组合：组成一个长为 70，宽为 60 的长方形，还要多出一个长为 8，宽为 2 的小长方形
- 右边图形的面积：（60×70） + （8×2）=4216
- （6×7）×100 + （8×2）=4216
- 右边图形的面积：（60×70） + （8×2）=4216
用公式进行推理
为了更容易理解乘法，下面写一个正常的推理过程，别多想。23×45 = (20+3)×(40+5) 这个公式相等吗？
头合十尾同
- 特点是头相加等于 10，尾数相同。
- 结果是：（头 ✕ 头 + 尾）✕100 + （尾 ✕ 尾）
- 23✕83 = （2✕8 + 3）✕100 + 3✕3 = 1900 + 9 =1909
推理过程
假设：46✕66
- 左边长方形面积：46×66= 3036
- A 面积：46×6
- B 面积：60×6
- C 面积：40×60
- 转换：
- 将 B 顺时针旋转后形成右图，会出现如图 D 的重叠部分
- 转换后的面积：也是 3036，那怎么计算出来呢？ （4×6+6）× 100 + 6×6
- C 面积不变：40×60
- 黄色合并的面积：100×6
- 多出一块：6×6
从这两个图形中可以看出“尾同头合十”的依据。
第 6 天：两位数乘两位数（3）
连乘问题：
- 可以求出一份的数量，再乘总份数；也可以先求总份数，再乘每份的数量。
楼有6层，每层12户，每户每月节约用电17度，那么这栋楼每月节约用电多少度？
第 7 天：两位数乘两位数（4）
什么是乘法解谜？
例如：求下面abcd是什么数？a b c d× 4-------------d c b a
解题要点：
- 从首位或末位入手。
- 文字、字母或其他符号，只能取 0-9 中的某个数字。
- 分析算式中的关系，找出隐藏条件。
- 要结合考虑进退位。
- 必要时，采用枚举法，淘汰那些不符合的数字。
- 最后：一定要再验证一边。
1 × 4 =42 × 4 =83 × 4 =124 × 4 =165 × 4 =206 × 4 =247 × 4 =288 × 4 =329 × 4 =360 × 4 =0
解题：
- ① 线索：乘积是 4 位；推理：a 只能是 1 或 2。
- 线索：乘积的末尾是 a； 推理：可以排除掉 1，只能是 2，因为？× 4 =1 不可能；
- 所以推定 a=2
- ② 线索：d × 4 = ?2，推论：d 可能是 3 或 8。
- 线索：乘积的末尾是 d；推理：可以排除掉 3，只能是 8 , 因为 ？× 4 >= 4;
- 所以推定 d=8
- ③ 线索：乘积中最大位没有进位，推理 b<3，只能是 0、1、2，
- 这里排除掉 2 不能与 a 重复。
- 排除掉 0，因为 0 乘任何数都是 0，那么 b 与 c 就都是 0，不对。
- 所以推定 b=1
- ④ 线索：（c × 4） + 3 = □1，推理要找到什么数与 4 乘得 8，可能是 2 或 7，排除掉 2
- 推定 c 是 7
结果：2 1 7 8× 4-------------8 7 1 2
第二周
第 8 天：位置与方向（一）（1）
认识方向
常见得有八个方向。
东南西北四个方向，按照顺时针方向排列。
方向有相对性：
- 观察点不同，就算同一个物体所在的方向也不同。
斜向方位找每个字的反义词
东北 相对 西南
西北 相对 东南
风向： 南风是从南边刮过来的风，要向北吹。
- 问：刮东南风时，旗子向那个****__****方向飘？
第 9 天：位置与方向（一）（2）
线路方向确定的三步骤：
- 第一步：以出发点为观测点，标清八个方向。
- 第二步：找准要到达的位置，选择通向该位置的路线。
- 第三步：描述向那个方向前进。
第 10 天：复式统计表
复试统计的优点：
- 可以表示两个或者多个统计项目。 例如上图，可以单独统计男生。
- 简洁清晰反映了数据情况，以及数据之间的差异。
- 有利于对数据进行观察、比较、分析。
解决问题的步骤：
- 看懂表头，弄懂每一项的内容。
- 找到问题中的每一项进行分析和计算。
- 根据分析结果，解决所求的问题。
第 11 天：面积(1)
常用的面积单位
- 平方厘米 平方分米 平方米
- 厘米：cm ; 分米：dm ; 米：m;
- 测量小物体，例如橡皮用平方厘米做单位。 测量稍大的物体，例如键盘、桌子可以用平方分米做单位。 测量较大物体，例如房间、讲台用平方米。
- 对比两个面积大小，要用统计的单位。
面积单位换算
- 重点：相邻的两个单位，进率一般是 100。为啥是 100 呢？
- 大单位转成小单位，用乘法，乘以进率。
- 小单位转大单位，用除法，除以进率。
第 12 天：面积(2)
面积公式
- 长方形的面积=长 × 宽
- 正方形的面积=边长 × 边宽
- 如何在长方形中剪出一个最大的正方形：
- 正方形的变成是长方形的宽。
第 13 天：面积(3)
面积逆运用
- 长方形
- 长 = 面积 ÷ 宽
- 宽 = 面积 ÷ 长
- 正方形
- 开平法， 例如面积是 64 的，只能看看那个相乘等于 64 了。
如何开平方呢？
首先我们的数字是十进制表示法，形如 12 的字符串 ab 表示数字 10a+b 。
开平方的过程就是找到一个数字（用某字符串表示）使它的平方逼近已知数字。
- 先将数字每两位分一节，之所以两位一节，是因为 100（两位）是 10（一位）的平方。
- 例如 1296，我们将其拆成两节,12 看成一节，96 看成一节。
- 假设两位数字符 ab 的平方是 1296，我们现在要确定出字符 ab。
- 笔算格式和除法相似，因为 3 的平方最接近 12（就是 1296 的第一节），从而确定 a=3 ；
- 然后和除法一样下移数字，只是这里下移两位，移下来组成新数 396。
- 由于根的第一位已经确定，也就是 10a+b 中的 a 已经确定，现在要确定 b。
我们再举一例，求 15129 的平方根。
- 先将数每两位分一节 1,51,29；分成三节对应平方根是一个三位数（用字符 abc 表示），
- 最高节 1，对应根的最高位 1(a=1)，
- 现在确定根的第二位和第三位（十位和个位），按照上例的方法确定根的第二位为 2（b=2）。
- 确定了 b，接下来，再次相减，即把刚确定的(20a+b)b 减掉，从而再次获得新余数7，然后下移两位，移下来组成新数 729。
- 因为(100a+10b+c)(100a+10b+c)=(100a+10b)+2(100a+10b)c+c=(100a+10b)+20(10a+b)c+c=(100a+10b)+[20(10a+b)+c]c，所以再次将已经确定的根的前两位乘以 20（即(10a+b)×20 ）加 c ，用这个数除 729，来确定平方根的第三位 c（即用[20(10a+b)+c]c 来逼近 729）,从而可以确定根的第三位 c=3。
- 具体过程如下（算出 15129 的平方根是 123）：
如果一个数的平方根有更多位，只需将上述方法重复，每一步的余数和被开方数的下一节（两位下移），组成新余数，再用已试出的根的前几位乘以 20 去除这个新余数，商几就将除数加几，再确定这一步的余数，循环计算直到余数为 0 或者无限循环计算下去（当然有开不尽的数）。
第 14 天：面积(4)
周长与面积
周长
长方形
长方形的周长 =（长+宽）× 2
长方形的长 = （周长 - 2× 宽）÷ 2 = 周长 ÷ 2 - 宽
长方形的宽 = （周长 - 2× 长）÷ 2 = 周长 ÷ 2 - 长
正方形
- 正方形周长 = 边长 × 4
- 正方形边长 = 正方形周长 ÷ 4
面积
- 长方向面积 = 长 × 宽
- 正方形面积 = 边长 × 边长
第三周
第 15 天：年、月、日(1)
★ 认识大小月
- 大月（31 天，有 7 个）：1 3 5 7 8 10 12
- 小月（30 天，有 4 个）：4 6 9 11
- 特殊月（28 天或 29 天，有 1 个）：2
★ 为什么有闰年？ 闰年多一天
- 地球绕太阳公转一周叫做一回归年，一回归年长 365 日 5 时 48 分 46 秒。
- 平年一年有 365 日，比回归年短 0.2422 日，四年共短 0.9688 日，故每四年增加一日，这一年有 366 日，就是闰年。
- 但四年增加一日比四个回归年又多 0.0312 日,400 年后将多 3.12 日,故在 400 年中少设 3 个闰年,也就是在 400 年中只设 97 个闰年，这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。
- 由此规定：年份是整百数的必须 400 的倍数才是闰年，例如 1900 年、2100 年就不是闰年。
★ 平年和闰年的计算方法
- 方法一：根据 2 月天数判断：28 天平年；29 天闰年
- 方法二：根据全年天数判断：365 天平年；366 天润年
- 方法三：根据公式计算：不是 4 的倍数是平年，是 4 的倍数（如果是整百的，必须是 400 的倍数）是润年。
- 4 年一闰；百年不润；400 年再润。
- 闰年是怎么回事？清华学霸李永乐老师，十年前就给我讲明白了！
第 16 天：年、月、日(2)
★ 12 时与 24 时的转换
- 12 时转 24 时
- 半夜 12 点到中午 12 点，直接去掉限定词。 例如上午 8 点 = 8 点。
- 中午 12 点以后，用“整时”+12，并去掉限定词。 例如下午 1 点 20 分 = 13 点 20 分。
- 24 时转 12 时
- 从 0 点到 12 点，直接加限定词。 例如 8 点 = 上午 8 点。
- 过了 12 点以后，例如 13 点 14 点，用“整时”+12，并加限定词。 13 点 = 下午 1 点。
★ 计算经过时间
- 直接观察法：直接观察钟面。
- 分段计算法：将经过的时间分成几段，分别计算。
- 用 24 小时计算：经过时间 = 结束时间 - 开始时间。
第 17 天：年、月、日(3)
★ 星期几的问题
- 如果两个日期相差 7 的倍数。那么这两个日期星期相同。
- 如果有余数，那么余数是几，就往后数几天。
★ 例子
5 月 4 日是星期五，那么 5 月 11 日是星期几？ 5 月 21 日是星期几？
- 11-4=7，那么 5 月 11 也是星期五。
- 21-4=17 ； 17 ÷ 7 = 2 ...3 ，完后数 3 天，那么就是星期一。
第 18 天：小数的初步认识(1)
★ 小数比较大小
- 先比较整数部分，整数部分大，就表示大。
- 如果整数部分相同，就比小数部分。先从小数部分的第一位比，那个大就大。
- 如果小数部分第一位相同，就比第二位，一次类推。
★ 小数加减法
- 先把小数点对齐
- 然后按照整数的加减法算法进行计算，最后在结果中加上小数点，要与原先的小数点对齐。
- 如果小数末尾有 0，要把 0 去掉。
第 19 天：小数的初步认识(2)
★ 运用小数加减法去解决问题
小明拿着 20 元钱去商店买东西，买了一只铅笔用 1.8 元、一个铅笔盒用了 10.5。那么他还剩多少钱？
- 20 - （1.8+10.5）
- 20 - 1.8 -10.5
第 20 天：数学广角-搭配(二)(1)
★ 加法原理：解题步骤
- 完成一件事情分多类情况。
- 每类找种数（每类的每种情况必须能独立完成这件事）
- 类类相加
★ 乘法原理：解题步骤
- 完成一件事分多个必要步骤。
- 每个步骤找种数（每步的每种情况都不能独立完成这件事）
- 步步相乘
第 21 天：数学广角-搭配(二)(2)
★ 加法原理综合
很多题目中，加法原理与乘法原理都不是单独出现，这就需要我们能熟练应用这两个原理，正确做出分步与分类运算。
例：有 n 件上装和 m 件下装，可以有 n*m 种搭配。
★ 特殊元素有限考虑
遇到特殊元素、特殊位置要有限考虑。
例：5 个人照相，甲不能站在两侧，一种有多少种不同的站法？
第四周
第 22 天：大数的认识（1）
★ 大数的读法
- 从右侧起，每 4 位一级：分别是：个、万、亿
- 从高位读起
- 如果含有 2 级，先读万级别，在读个级。
- 如果含有 3 级，先读亿级，再读万级，最后读个级。
- 每级尾数不管有几个 0 都不读。
- 每级前边或中间的 0 都要读，不管多少都读一个零。
例如：300004000050第一步：每4位分级别第二步：从高位读，其中注意尾数0不读，中间或前边的0读。
★ 大数的写法
- 从题目中找出【万】和【亿】，然后分成两级或者三级。
- 从高位写起，一级一级的写。
- 那一个数位上一个计算单位页没有，就再这个数位上写 0。
例如：二百零四万零五百零六 = 2040506
0 是最小的自然数
第 23 天：大数的认识（2）
★ 大数的改写
- 改成万，去掉末尾的 4 个 0，然后添加万。
- 改成亿，去掉末尾的 8 个 0，然后添加万。
例如：450000 = 45万
★ 省略尾数估算
- 找到分界点处，然后对要忽略的最大位数，进行四舍五入
例如：147283 ≈ 15万
第 24 天：大数的认识（3）
★ 认识自然数
- 一般用来表示物体的个数：1、2、3、4、5 ......
- 一个物体也没有 0 ，也是自然数。
- 所有的自然数都是整数。
- 0 是最小的自然数。
- 没有最大的自然数，自然数是无限的。
★ 数轴上表示自然数，例如尺子
- 最小的是 0 ，从左起，右边的大。
- 相邻两个自然数之间相差 1。
★ 你知道吗？
- 一个自然数不是奇数，就是偶数。
- 质数与合数。 0 与 1 既不是质数，也不是合数
第 25 天：公顷与平方千米
★ 认识公顷与平方千米
- 这两个单位都是面积单位。
- 公顷
- 边长 =100 米的正方形，面积是 1 公顷 ； 1 公顷 = 10000 平方米
- 公园、广场、厂区一般用公顷计算。
- 平方千米
- 边长=1000 米的正方形，面积是 1 平方千米 ； 1 平方千米 = 1000000 平方米 = 100 公顷
- 其他面积单位：平方厘米、平方分米、平方米
- 边长 =1 厘米的正方形，面积是 1 平方厘米 ；
- 边长 =1 分米的正方形，面积是 1 平方分米 ；
- 边长 =1 米的正方形，面积是 1 平方米 ；
第 26 天：公顷与平方千米（2）
★ 面积单位的进率
- 1 公顷 =10000 平方米
- 1 平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米
- 1 平方米 = 100 平方分米 =10000 平方厘米
★ 换算方法
- 高级单位转低级单位，用乘法，高级单位乘两者的进率。
- 低级单位转高级单位，用触发，低级单位除以进率。
第 27 天：角的度量（1）
★ 线段、直线、射线
- 线段：是直的，有两个端点，可以测量。
- 直线：没有端点，无限长，无法测量。
- 射线：射线只有一个端点，无限长，无法测量。
★ 角的度数
- 从一个点引出两条射线，组成的图形叫做角。
- 这个点叫做角的顶点，那两条射线叫做角的边。
- 角的单位度。 将一个圆平均分成 360 度，每一份对应 1 度。
★ 测量步骤
- 用量角器放在角上，量角器的中心与角的顶点重合。0 度边与角的一条边重合。
- 角的另外一条边对应的刻度就是角的度数。
- 角的大小与边的长度无关。
第 28 天：角的度量（2）
★ 角的分类
直角 平角 周角
- 直角：90 度
- 平角：180 度
- 周角：260 度
锐角与钝角
- 锐角大于 0 度，小于 90 度。
- 钝角大于 90 度，小于 189 度。
角的大小
- 锐角< 直角< 钝角< 平角< 周角
错题分析
① 原因与理由
错题来源：
P33页。 五月份，第一周卖出的电脑多？ 分析一下，可能的原因？不太正确的答案：买电脑的人多。卖出的电脑多，肯定是买的人多，这种回答跟没有回答是一样的。是否能解释一下为什么买的人多？能否与题目中的隐藏信息做出关联？例如：五一放假 或者 五一促销等。 这样感觉更好一点，
从出题者分析来解决问题：
人与人沟通过程中，有时候直接从明面上得到到对方传递的真实意图，所以要多找到隐藏信息，从对方想要达到的效果，来猜测他要表达的意思。一个人盯着餐桌上的美食，直流口水，嘴上却说不吃不吃，人有时候并不会真实表达出自己的意思。
要弄明白出题者的本意是什么？
从哲学概念上讲解决问题：原因和理由其实不太一样。 这种方法可能对小学生不友好
简单来说：原因，是导致了某件事情发生；而理由，是解释这件事。
因为五一放假，导致了买电脑的人多。买电脑的人多，所以电脑买的多。我饿了，所以我要吃饭。 我两顿没有吃饭了，导致我着急要吃饭。
在一般人看来，原因和理由其实表示的一样的意思，你努力工作的理由和原因是什么呀？赚钱养家或者过上幸福快乐的日子，看起来没什么区别，但是叔本华敏锐地洞察到了这里面的差异，并且准确地区分了它们，区分概念是哲学家最擅长的事情。
举一个例子：
有一天你孩子说，我们班小明是一个很优秀的同学。你问他你的理由是什么呀？你小孩说，因为他每次考试都考 100 分；你再问他，那小明优秀的原因是什么？你小孩可能说，他上课特别认真听讲，做笔记，回家还认真复习，做作业，还上了很多培训班等等。
小明优秀的原因是，平时认真听讲；小明优秀的理由是，他考试总是考 100 分。原因对应着变化，原因具有时间性，这个差别其实普通人看来很细微，但是这个差别的意义却很重大，为什么呢？原因是让事情产生的那个东西，比如我用手推动杯子，是杯子运动的原因；比如小明因为努力学习，认真听讲，是他非常优秀的原因；而杯子在运动的理由是，杯子从桌子的这一点，移动到了另外一点；小明优秀的理由是，他考试总是考 100 分。原因和理由是完全不同纬度的两个概念。
更进一步，叔本华说，解释事物和证实事物的存在不同，两者永不相合，原因可以证明事物的存在，而理由只能解释事物存在的表象。理由是用来知道它要说明什么，而原因用来知道为什么存在着这样一个事物或者事物的状态。这个思想其实和后来哲学家维特根斯坦的思想非常接近，维特根斯坦在《逻辑哲学论》里面说：世界是怎样的并不神秘；而世界存在着，才是神秘的。我们可以给出世界存在的理由，比如我们可以看到山川河流，日语星辰，但是我们无法解释世界为什么而存在。就像我们可以穷尽其理去研究“光”的性质，光具有波粒二象性，光的速度是恒定的，光每秒可以速度是大约 30 万公里等等，但是我们永远也不能解释，这个世界为什么存在“光”这么个东西。
除了上面的概念，还有一些重要的概念。其实词典上都描述的很清楚了，可以在网上看看别人的解释。
- 本质与现象
- 必然和偶然
- 原因和结果
- 可能和现实
- 内容和形式
扩展思考
① 除数是两位数的除法
有一个重要概念，叫做试商，什么是试商？