数学
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳✕✓✔✖ ≥≤≠÷ □ **__** ★△♀♂○◊ ≈
这里汇总了暑假期间学习的知识要点。
- 重点是数学,因为数学知识具有连续性,如果三年纪的知识掌握不好,四年级的数学题做起来就迷迷糊糊。
[TOC]
第一周
除法(3 天):
- 掌握基本得计算步骤
- 根据商的位数,反过来求被除数的最高位的范围。
- 进一去尾法,求【至少】或【最多】,因为整体的原因,要加一或者减一。
乘法(4 天)
- 两位数乘两位数的基本计算步骤
- 巧算方法:头同尾合十、尾同头合十。
- 连乘的实际应用
- 乘法解谜
第 1 天:除数是一位数的除法(1)
笔算的顺序是:确定商从哪里开始;检查;验算;
- 从被除数最高位除起,如果最高位的数字<除数,就用被除数前两位除以除数。
- 除到那一位,就把商写到那一位上面。那一位有余数,就和后一位数合起来继续除。 重点:余数必须小于除数
- 除了被除数最高一位外,哪一位的商<1,要先用 0 占位,再和一位数合起来继续除。
第 2 天:除数是一位数的除法(2)
- 除和除以的区别
- 被除数除以除数,除数除被除数。 60÷2 怎么说?
- 3 位数除以 1 位数的估算方法
- 除数不变
- 把被除数看作接近它的(能被整除的)整百数或几百几十数
- 然后按照整百数或几百几十数除以 1 位数算出结果
- 商是几位的判断
- 被除数的最高位 ≥ 除数,商的位数 = 被除数的位数。
- 被除数的最高位 < 除数,商的位数 = 被除数的位数 -1。
第 3 天:除数是一位数的除法(3)
三量的关系
- 总量 ÷ 份数 = 一分量 ;
- 总量 ÷ 一分量 = 份数 ;
- 份数 ✕ 一分量 = 总量 ;
进一、去尾问题
第 4 天:两位数乘两位数(1)
笔算方法
- 把相同位数对其。
- 先用第二个乘数的个位,去与第一个乘数的每一位进行相乘。所得积的末尾要与第二位乘数的个位对其。
- 再用第二个乘数的十位,去与第一个乘数的每一位进行相乘。所得积的末尾要与第二位乘数的十位对其。
- 在乘的过程,那一位上乘得的积满几十,就向前一位进几。
- 最后,把两次乘得得积相加。
第 5 天:两位数乘两位数(2)
巧算方法。
头同尾合十
计算方法
特征:例如:61*69; 后两位相加是 10
巧算方法:
- 头 ✕ (头+1)✕ 100
- 尾 ✕ 尾 = 乘积的后部分
- 两个数相加
例如:43✕ 47
推理过程
乘积都可以使用面级来推理。
用公式进行推理
为了更容易理解乘法,下面写一个正常的推理过程,别多想。
23×45 = (20+3)×(40+5) 这个公式相等吗?
头合十尾同
- 特点是头相加等于 10,尾数相同。
- 结果是:(头 ✕ 头 + 尾)✕100 + (尾 ✕ 尾)
- 23✕83 = (2✕8 + 3)✕100 + 3✕3 = 1900 + 9 =1909
推理过程
假设:46✕66
- 左边长方形面积:46×66= 3036
- A 面积:46×6
- B 面积:60×6
- C 面积:40×60
- 转换:
- 将 B 顺时针旋转后形成右图,会出现如图 D 的重叠部分
- 转换后的面积:也是 3036,那怎么计算出来呢? (4×6+6)× 100 + 6×6
- C 面积不变:40×60
- 黄色合并的面积:100×6
- 多出一块:6×6
从这两个图形中可以看出“尾同头合十”的依据。
第 6 天:两位数乘两位数(3)
连乘问题:
- 可以求出一份的数量,再乘总份数;也可以先求总份数,再乘每份的数量。
楼有6层,每层12户,每户每月节约用电17度,那么这栋楼每月节约用电多少度?
第 7 天:两位数乘两位数(4)
什么是乘法解谜?
例如:求下面abcd是什么数?
a b c d
× 4
-------------
d c b a
解题要点:
- 从首位或末位入手。
- 文字、字母或其他符号,只能取 0-9 中的某个数字。
- 分析算式中的关系,找出隐藏条件。
- 要结合考虑进退位。
- 必要时,采用枚举法,淘汰那些不符合的数字。
- 最后:一定要再验证一边。
1 × 4 =4
2 × 4 =8
3 × 4 =12
4 × 4 =16
5 × 4 =20
6 × 4 =24
7 × 4 =28
8 × 4 =32
9 × 4 =36
0 × 4 =0
解题:
- ① 线索:乘积是 4 位;推理:a 只能是 1 或 2。
- 线索:乘积的末尾是 a; 推理:可以排除掉 1,只能是 2,因为?× 4 =1 不可能;
- 所以推定 a=2
- ② 线索:d × 4 = ?2,推论:d 可能是 3 或 8。
- 线索:乘积的末尾是 d;推理:可以排除掉 3,只能是 8 , 因为 ?× 4 >= 4;
- 所以推定 d=8
- ③ 线索:乘积中最大位没有进位,推理 b<3,只能是 0、1、2,
- 这里排除掉 2 不能与 a 重复。
- 排除掉 0,因为 0 乘任何数都是 0,那么 b 与 c 就都是 0,不对。
- 所以推定 b=1
- ④ 线索:(c × 4) + 3 = □1,推理要找到什么数与 4 乘得 8,可能是 2 或 7,排除掉 2
结果:
2 1 7 8
× 4
-------------
8 7 1 2
第二周
第 8 天:位置与方向(一)(1)
认识方向
常见得有八个方向。
东南西北四个方向,按照顺时针方向排列。
方向有相对性:
斜向方位找每个字的反义词
风向: 南风是从南边刮过来的风,要向北吹。
- 问:刮东南风时,旗子向那个****__****方向飘?
第 9 天:位置与方向(一)(2)
线路方向确定的三步骤:
- 第一步:以出发点为观测点,标清八个方向。
- 第二步:找准要到达的位置,选择通向该位置的路线。
- 第三步:描述向那个方向前进。
第 10 天:复式统计表
复试统计的优点:
- 可以表示两个或者多个统计项目。 例如上图,可以单独统计男生。
- 简洁清晰反映了数据情况,以及数据之间的差异。
解决问题的步骤:
- 看懂表头,弄懂每一项的内容。
- 找到问题中的每一项进行分析和计算。
- 根据分析结果,解决所求的问题。
第 11 天:面积(1)
常用的面积单位
- 平方厘米 平方分米 平方米
- 测量小物体,例如橡皮用平方厘米做单位。 测量稍大的物体,例如键盘、桌子可以用平方分米做单位。 测量较大物体,例如房间、讲台用平方米。
- 对比两个面积大小,要用统计的单位。
面积单位换算
- 重点:相邻的两个单位,进率一般是 100。为啥是 100 呢?
- 大单位转成小单位,用乘法,乘以进率。
- 小单位转大单位,用除法,除以进率。
第 12 天:面积(2)
面积公式
- 长方形的面积=长 × 宽
- 正方形的面积=边长 × 边宽
- 如何在长方形中剪出一个最大的正方形:
第 13 天:面积(3)
面积逆运用
- 长方形
- 正方形
- 开平法, 例如面积是 64 的,只能看看那个相乘等于 64 了。
如何开平方呢?
先看这个视频
数学中,给一个数开平方,如何快速得到开平方的结果?
首先我们的数字是十进制表示法,形如 12 的字符串 ab 表示数字 10a+b 。
开平方的过程就是找到一个数字(用某字符串表示)使它的平方逼近已知数字。
- 先将数字每两位分一节,之所以两位一节,是因为 100(两位)是 10(一位)的平方。
- 例如 1296,我们将其拆成两节,12 看成一节,96 看成一节。
- 假设两位数字符 ab 的平方是 1296,我们现在要确定出字符 ab。
- 笔算格式和除法相似,因为 3 的平方最接近 12(就是 1296 的第一节),从而确定 a=3 ;
- 然后和除法一样下移数字,只是这里下移两位,移下来组成新数 396。
- 由于根的第一位已经确定,也就是 10a+b 中的 a 已经确定,现在要确定 b。
- 因为(10a+b)✕(10a+b)=100a+20ab+bb=100a+(20a+b)b,而100a已经被从最高节中减掉了。
- 因此对于余下的新数 396,只需用(20a+b)b 来逼近 396(即用 66 去除 396),从而确定根的第二位 b。
- 具体过程是按下图操作,从而可以确定 1296 的平方根是 36。
我们再举一例,求 15129 的平方根。
- 先将数每两位分一节 1,51,29;分成三节对应平方根是一个三位数(用字符 abc 表示),
- 最高节 1,对应根的最高位 1(a=1),
- 现在确定根的第二位和第三位(十位和个位),按照上例的方法确定根的第二位为 2(b=2)。
- 确定了 b,接下来,再次相减,即把刚确定的(20a+b)b 减掉,从而再次获得新余数7,然后下移两位,移下来组成新数 729。
- 因为(100a+10b+c)(100a+10b+c)=(100a+10b)+2(100a+10b)c+c=(100a+10b)+20(10a+b)c+c=(100a+10b)+[20(10a+b)+c]c,所以再次将已经确定的根的前两位乘以 20(即(10a+b)×20 )加 c ,用这个数除 729,来确定平方根的第三位 c(即用[20(10a+b)+c]c 来逼近 729),从而可以确定根的第三位 c=3。
- 具体过程如下(算出 15129 的平方根是 123):
如果一个数的平方根有更多位,只需将上述方法重复,每一步的余数和被开方数的下一节(两位下移),组成新余数,再用已试出的根的前几位乘以 20 去除这个新余数,商几就将除数加几,再确定这一步的余数,循环计算直到余数为 0 或者无限循环计算下去(当然有开不尽的数)。
第 14 天:面积(4)
周长与面积
周长
长方形
正方形
- 正方形周长 = 边长 × 4
- 正方形边长 = 正方形周长 ÷ 4
面积
- 长方向面积 = 长 × 宽
- 正方形面积 = 边长 × 边长
第三周
第 15 天:年、月、日(1)
★ 认识大小月
- 大月(31 天,有 7 个):1 3 5 7 8 10 12
- 小月(30 天,有 4 个):4 6 9 11
- 特殊月(28 天或 29 天,有 1 个):2
★ 为什么有闰年? 闰年多一天
- 地球绕太阳公转一周叫做一回归年,一回归年长 365 日 5 时 48 分 46 秒。
- 平年一年有 365 日,比回归年短 0.2422 日,四年共短 0.9688 日,故每四年增加一日,这一年有 366 日,就是闰年。
- 但四年增加一日比四个回归年又多 0.0312 日,400 年后将多 3.12 日,故在 400 年中少设 3 个闰年,也就是在 400 年中只设 97 个闰年,这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。
- 由此规定:年份是整百数的必须 400 的倍数才是闰年,例如 1900 年、2100 年就不是闰年。
★ 平年和闰年的计算方法
第 16 天:年、月、日(2)
★ 12 时与 24 时的转换
- 12 时转 24 时
- 半夜 12 点到中午 12 点,直接去掉限定词。 例如上午 8 点 = 8 点。
- 中午 12 点以后,用“整时”+12,并去掉限定词。 例如下午 1 点 20 分 = 13 点 20 分。
- 24 时转 12 时
- 从 0 点到 12 点,直接加限定词。 例如 8 点 = 上午 8 点。
- 过了 12 点以后,例如 13 点 14 点,用“整时”+12,并加限定词。 13 点 = 下午 1 点。
★ 计算经过时间
- 直接观察法:直接观察钟面。
- 分段计算法:将经过的时间分成几段,分别计算。
- 用 24 小时计算:经过时间 = 结束时间 - 开始时间。
第 17 天:年、月、日(3)
★ 星期几的问题
- 如果两个日期相差 7 的倍数。那么这两个日期星期相同。
- 如果有余数,那么余数是几,就往后数几天。
★ 例子
5 月 4 日是星期五,那么 5 月 11 日是星期几? 5 月 21 日是星期几?
- 11-4=7,那么 5 月 11 也是星期五。
- 21-4=17 ; 17 ÷ 7 = 2 ...3 ,完后数 3 天,那么就是星期一。
第 18 天:小数的初步认识(1)
★ 小数比较大小
- 先比较整数部分,整数部分大,就表示大。
- 如果整数部分相同,就比小数部分。先从小数部分的第一位比,那个大就大。
- 如果小数部分第一位相同,就比第二位,一次类推。
★ 小数加减法
- 先把小数点对齐
- 然后按照整数的加减法算法进行计算,最后在结果中加上小数点,要与原先的小数点对齐。
- 如果小数末尾有 0,要把 0 去掉。
第 19 天:小数的初步认识(2)
★ 运用小数加减法去解决问题
小明拿着 20 元钱去商店买东西,买了一只铅笔用 1.8 元、一个铅笔盒用了 10.5。那么他还剩多少钱?
- 20 - (1.8+10.5)
- 20 - 1.8 -10.5
第 20 天:数学广角-搭配(二)(1)
★ 加法原理:解题步骤
- 完成一件事情分多类情况。
- 每类找种数(每类的每种情况必须能独立完成这件事)
- 类类相加
★ 乘法原理:解题步骤
- 完成一件事分多个必要步骤。
- 每个步骤找种数(每步的每种情况都不能独立完成这件事)
- 步步相乘
第 21 天:数学广角-搭配(二)(2)
★ 加法原理综合
很多题目中,加法原理与乘法原理都不是单独出现,这就需要我们能熟练应用这两个原理,正确做出分步与分类运算。
例:有 n 件上装和 m 件下装,可以有 n*m 种搭配。
★ 特殊元素有限考虑
遇到特殊元素、特殊位置要有限考虑。
例:5 个人照相,甲不能站在两侧,一种有多少种不同的站法?
第四周
第 22 天:大数的认识(1)
★ 大数的读法
- 从右侧起,每 4 位一级:分别是:个、万、亿
- 从高位读起
- 如果含有 2 级,先读万级别,在读个级。
- 如果含有 3 级,先读亿级,再读万级,最后读个级。
- 每级尾数不管有几个 0 都不读。
- 每级前边或中间的 0 都要读,不管多少都读一个零。
例如:300004000050
第一步:每4位分级别
第二步:从高位读,其中注意尾数0不读,中间或前边的0读。
★ 大数的写法
- 从题目中找出【万】和【亿】,然后分成两级或者三级。
- 从高位写起,一级一级的写。
- 那一个数位上一个计算单位页没有,就再这个数位上写 0。
0 是最小的自然数
第 23 天:大数的认识(2)
★ 大数的改写
- 改成万,去掉末尾的 4 个 0,然后添加万。
- 改成亿,去掉末尾的 8 个 0,然后添加万。
★ 省略尾数估算
- 找到分界点处,然后对要忽略的最大位数,进行四舍五入
第 24 天:大数的认识(3)
★ 认识自然数
- 一般用来表示物体的个数:1、2、3、4、5 ......
- 一个物体也没有 0 ,也是自然数。
- 所有的自然数都是整数。
- 0 是最小的自然数。
- 没有最大的自然数,自然数是无限的。
★ 数轴上表示自然数,例如尺子
- 最小的是 0 ,从左起,右边的大。
- 相邻两个自然数之间相差 1。
★ 你知道吗?
- 一个自然数不是奇数,就是偶数。
- 质数与合数。 0 与 1 既不是质数,也不是合数
第 25 天:公顷与平方千米
★ 认识公顷与平方千米
- 这两个单位都是面积单位。
- 公顷
- 边长 =100 米的正方形,面积是 1 公顷 ; 1 公顷 = 10000 平方米
- 公园、广场、厂区一般用公顷计算。
- 平方千米
- 边长=1000 米的正方形,面积是 1 平方千米 ; 1 平方千米 = 1000000 平方米 = 100 公顷
- 其他面积单位:平方厘米、平方分米、平方米
- 边长 =1 厘米的正方形,面积是 1 平方厘米 ;
- 边长 =1 分米的正方形,面积是 1 平方分米 ;
- 边长 =1 米的正方形,面积是 1 平方米 ;
第 26 天:公顷与平方千米(2)
★ 面积单位的进率
- 1 公顷 =10000 平方米
- 1 平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米
- 1 平方米 = 100 平方分米 =10000 平方厘米
★ 换算方法
- 高级单位转低级单位,用乘法,高级单位乘两者的进率。
- 低级单位转高级单位,用触发,低级单位除以进率。
第 27 天:角的度量(1)
★ 线段、直线、射线
- 线段:是直的,有两个端点,可以测量。
- 直线:没有端点,无限长,无法测量。
- 射线:射线只有一个端点,无限长,无法测量。
★ 角的度数
- 从一个点引出两条射线,组成的图形叫做角。
- 这个点叫做角的顶点,那两条射线叫做角的边。
- 角的单位度。 将一个圆平均分成 360 度,每一份对应 1 度。
★ 测量步骤
- 用量角器放在角上,量角器的中心与角的顶点重合。0 度边与角的一条边重合。
- 角的另外一条边对应的刻度就是角的度数。
- 角的大小与边的长度无关。
第 28 天:角的度量(2)
★ 角的分类
直角 平角 周角
锐角与钝角
- 锐角大于 0 度,小于 90 度。
- 钝角大于 90 度,小于 189 度。
角的大小
错题分析
① 原因与理由
错题来源:
P33页。 五月份,第一周卖出的电脑多? 分析一下,可能的原因?
不太正确的答案:买电脑的人多。
卖出的电脑多,肯定是买的人多,这种回答跟没有回答是一样的。是否能解释一下为什么买的人多?能否与题目中的隐藏信息做出关联?
例如:五一放假 或者 五一促销等。 这样感觉更好一点,
从出题者分析来解决问题:
人与人沟通过程中,有时候直接从明面上得到到对方传递的真实意图,所以要多找到隐藏信息,从对方想要达到的效果,来猜测他要表达的意思。一个人盯着餐桌上的美食,直流口水,嘴上却说不吃不吃,人有时候并不会真实表达出自己的意思。
要弄明白出题者的本意是什么?
从哲学概念上讲解决问题:原因和理由其实不太一样。 这种方法可能对小学生不友好
简单来说:原因,是导致了某件事情发生;而理由,是解释这件事。
因为五一放假,导致了买电脑的人多。买电脑的人多,所以电脑买的多。
我饿了,所以我要吃饭。 我两顿没有吃饭了,导致我着急要吃饭。
在一般人看来,原因和理由其实表示的一样的意思,你努力工作的理由和原因是什么呀?赚钱养家或者过上幸福快乐的日子,看起来没什么区别,但是叔本华敏锐地洞察到了这里面的差异,并且准确地区分了它们,区分概念是哲学家最擅长的事情。
举一个例子:
有一天你孩子说,我们班小明是一个很优秀的同学。你问他你的理由是什么呀?你小孩说,因为他每次考试都考 100 分;你再问他,那小明优秀的原因是什么?你小孩可能说,他上课特别认真听讲,做笔记,回家还认真复习,做作业,还上了很多培训班等等。
小明优秀的原因是,平时认真听讲;小明优秀的理由是,他考试总是考 100 分。原因对应着变化,原因具有时间性,这个差别其实普通人看来很细微,但是这个差别的意义却很重大,为什么呢?原因是让事情产生的那个东西,比如我用手推动杯子,是杯子运动的原因;比如小明因为努力学习,认真听讲,是他非常优秀的原因;而杯子在运动的理由是,杯子从桌子的这一点,移动到了另外一点;小明优秀的理由是,他考试总是考 100 分。原因和理由是完全不同纬度的两个概念。
更进一步,叔本华说,解释事物和证实事物的存在不同,两者永不相合,原因可以证明事物的存在,而理由只能解释事物存在的表象。理由是用来知道它要说明什么,而原因用来知道为什么存在着这样一个事物或者事物的状态。这个思想其实和后来哲学家维特根斯坦的思想非常接近,维特根斯坦在《逻辑哲学论》里面说:世界是怎样的并不神秘;而世界存在着,才是神秘的。我们可以给出世界存在的理由,比如我们可以看到山川河流,日语星辰,但是我们无法解释世界为什么而存在。就像我们可以穷尽其理去研究“光”的性质,光具有波粒二象性,光的速度是恒定的,光每秒可以速度是大约 30 万公里等等,但是我们永远也不能解释,这个世界为什么存在“光”这么个东西。
除了上面的概念,还有一些重要的概念。其实词典上都描述的很清楚了,可以在网上看看别人的解释。
- 本质与现象
- 必然和偶然
- 原因和结果
- 可能和现实
- 内容和形式
扩展思考
① 除数是两位数的除法
有一个重要概念,叫做试商,什么是试商?
想找三位数除法竖式,先来看看这段视频吧